Qual é o domínio e o intervalo de f (x) = (x + 9) / (x-3)?

Responda:

Domínio: # mathbb {R} setminus {3} #

Alcance: # mathbb {R} #

Explicação:

Domínio

O domínio de uma função é o conjunto de pontos em que a função é definida. Com função numérica, como você provavelmente sabe, algumas operações não são permitidas - ou seja, divisão por #0#, logaritmos de números não positivos e até raízes de números negativos.

No seu caso, você não tem logaritmos nem raízes, então você só precisa se preocupar com o denominador. Ao impor #x - 3 ne 0 #, você encontrará a solução #x ne 3 #. Então, o domínio é o conjunto de todos os números reais, exceto #3#, que você pode escrever como # mathbb {R} setminus {3} # ou na forma de intervalo # (- infty, 3) cup (3, infty) #

Alcance

O intervalo é um intervalo cujos extremos são os valores mais baixos e mais altos possíveis alcançados pela função. Nesse caso, já percebemos que nossa função tem um ponto de não definição, o que leva a uma assíntota vertical. Quando se aproximam de assíntotas verticais, as funções divergem # -infty # ou # infty #. Vamos estudar o que acontece ao redor # x = 3 #: se considerarmos o limite da esquerda, temos

#lim_ {x para 3 ^ frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ = - infty #

De fato, se # x # aproximações #3#, mas ainda é menos do que #3#, # x-3 # será um pouco menor que zero (pense, por exemplo, em # x # assumindo valores como #2.9, 2.99, 2.999,…#

Pela mesma lógica, #lim_ {x para 3 ^ +} frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ +} = infty #

Como a função aborda ambos # -infty # e # infty #, o alcance é # (- infty, infty) #que, claro, é equivalente a todo o conjunto de números reais # mathbb {R} #.

Responda:

#x em (-oo, 3) uu (3, oo) #

#y em (-oo, 1) uu (1, oo) #

Explicação:

O denominador de f) x) não pode ser zero, pois isso tornaria f (x) indefinido. Equacionar o denominador como zero e resolver dá o valor que x não pode ser.

# "solve" x-3 = 0rArrx = 3larrcolor (vermelho) "valor excluído" #

# "domínio" x em (-oo, 3) uu (3, oo) #

# "let" y = (x + 9) / (x-3) #

# "reorganizar fazendo x o assunto" #

#y (x-3) = x + 9 #

# xy-3y = x + 9 #

# xy-x = 9 + 3y #

#x (y-1) = 9 + 3a #

# x = (9 + 3y) / (y-1) #

# "solve" y-1 = 0rArry = 1larrcolor (vermelho) "valor excluído" #

# "range" y in (-oo, 1) uu (1, oo) #

gráfico {(x + 9) / (x-3) -10, 10, -5, 5}