Vamos começar com a função sem # m #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Esta função certamente tem # x = 0 # como raiz, já que nós consideramos # x #.
As outras raízes são soluções de # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, mas esta parábola não tem raízes. Isso significa que o polinômio original tem apenas uma raiz.
Agora, um polinômio #p (x) # de grau impar sempre tem pelo menos uma solução, porque você tem
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # e #lim_ {x para infty} p (x) = infty #
e #p (x) # é contínuo, por isso deve atravessar # x # eixo em algum momento.
A resposta vem dos dois resultados a seguir:
- Um polinômio de grau # n # tem exatamente # n # raízes complexas, mas no máximo # n # raízes reais
- Dado o gráfico de #f (x) #, o gráfico de #f (x) + k # tem a mesma forma, mas é traduzido verticalmente (para cima se #k> 0 #, para baixo, caso contrário).
Então, nós começamos de # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, que tem apenas uma raiz real (e, portanto, duas raízes complexas) e a transformamos em # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, o que significa que o traduzimos para cima ou para baixo, por isso não alteramos o número de soluções.
Alguns exemplos:
Função original: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
gráfico {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Traduzir para: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
gráfico {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Traduzir para baixo: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
gráfico {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Como você pode ver, há sempre uma raiz
Responda:
Ver abaixo
Explicação:
Uma solução alternativa, talvez mais elegante:
a derivada do seu polinômio é # 3x ^ 2-4x + 2 #, que é uma parábola côncava sem raízes e, portanto, sempre positiva. Assim, # f # é:
- Aumentando Monotonicamente
- #lim_ {x para pm infty} f (x) = pm infty #
- # "deg" (f) = 3 #
Os dois primeiros pontos mostram que # f # tem exatamente uma raiz e a terceira que as outras duas raízes são complexas.
