Qual é o limite quando t se aproxima de 0 de (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Nós determinamos isso utilizando a Regra de L'hospital.

Parafraseando, a regra de L'Hospital afirma que, quando dado um limite da forma #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, Onde #f (a) # e #g (a) # são valores que fazem com que o limite seja indeterminado (na maioria das vezes, se ambos forem 0, ou alguma forma de), então, contanto que ambas as funções sejam contínuas e diferenciáveis em e nas proximidades de #uma,# pode-se afirmar que

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Ou, em palavras, o limite do quociente de duas funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

No exemplo fornecido, temos #f (t) = tan (6t) # e #g (t) = sin (2t) #. Essas funções são contínuas e diferenciáveis perto # t = 0, tan (0) = 0 e sin (0) = 0 #. Assim, nossa inicial #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Portanto, devemos fazer uso da Regra de L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 seg ^ 2 (6t), d / dt sen (2t) = 2 cos (2t) #. Portanto…

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sen (2t) = lim_ (t-> 0) (6 seg ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 seg ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Responda:

O Reqd. Lim.#=3#.

Explicação:

Nós vamos encontrar isso Limite usando o seguinte Resultados padrão:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Observe aquilo, #tan (6t) / sin (2t) = fratura (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Aqui, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Similarmente, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Portanto, o Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.