Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = xy (1-x-y)?

Responda:

Os pontos #(0,0),(1,0)#e #(0,1)# são pontos de sela. O ponto #(1/3,1/3)# é um ponto máximo local.

Explicação:

Podemos expandir # f # para #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Em seguida, encontre as derivadas parciais e defina-as como zero.

# frac { f parcial} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Claramente, # (x, y) = (0,0), (1,0), # e #(0,1)# são soluções para este sistema, e por isso são pontos críticos de # f #. A outra solução pode ser encontrada no sistema # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Resolvendo a primeira equação para # y # em termos de # x # dá # y = 1-2x #, que pode ser conectado na segunda equação para obter # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. A partir disso, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # também.

Para testar a natureza desses pontos críticos, encontramos as segundas derivadas:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #e # frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { parcial y partial x} = 1-2x-2y #.

O discriminante é, portanto:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Conectando os primeiros três pontos críticos em:

#D (0,0) = - 1 <0 #, # D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #e #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, fazendo com que esses pontos apontem pontos.

Conectando o último ponto crítico dá #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Observe também que # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Assim sendo, #(1/3,1/3)# é uma localização de um valor máximo local de # f #. Você pode verificar se o valor máximo local é #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Abaixo está uma imagem do mapa de contorno (de curvas de nível) de # f # (as curvas onde a saída de # f # é constante), juntamente com os 4 pontos críticos de # f #.