Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (3 pi) / 4 e pi / 6. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 9, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

Responda:

O perímetro mais longo possível é # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

Explicação:

Com os dois ângulos dados podemos encontrar o 3º ângulo usando o conceito de que a soma de todos os três ângulos em um triângulo é # 180 ^ @ ou pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = pi - (11pi) / 12 #

#x = pi / 12 #

Portanto, o terceiro ângulo é # pi / 12 #

Agora digamos

# / _ A = (3pi) / 4, / _B = pi / 6 e / _C = pi / 12 #

Usando a Regra Sine nós temos, # (Sin / _A) / a = (Sin / _B) / b = (Sin / _C) / c #

onde, a, b e c são o comprimento dos lados opostos a # / _ A, / _B e / _C # respectivamente.

Usando o conjunto de equações acima, temos o seguinte:

#a = a, b = (Sin / _B) / (Sin / _A) * a, c = (Sin / _C) / (Sin / _A) * a #

# ou a = a, b = (Sin (pi / 6)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a, c = (Sin (pi / 12)) / (Sin ((3pi) / 4))*uma#

#rArr a = a, b = a / (sqrt2), c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

Agora, para encontrar o perímetro mais longo possível do triângulo

#P = a + b + c #

Assumindo, #a = 9 #, temos

#a = 9, b = 9 / sqrt2 ec = (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

# ou P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

# ou P ~~ 18.66 #

Assumindo, #b = 9 #, temos

#a = 9sqrt2, b = 9 ec = (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

# ou P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

# ou P ~~ 26.39 #

Assumindo, #c = 9 #, temos

#a = 18 / (sqrt3 - 1), b = (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) ec = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3 - 1) + (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) + 9 #

#ou P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

# ou P ~~ 50.98 #

Portanto, o perímetro mais longo possível do triângulo dado é # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (2 pi) / 3 e (pi) / 4. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 12, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

O perímetro mais longo possível é 12 + 40,155 + 32,786 = 84,941. Como dois ângulos são (2pi) / 3 e pi / 4, o terceiro ângulo é pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Para o perímetro mais longo do comprimento 12, digamos a, tem que ser oposto ao menor ângulo pi / 12 e então usando a fórmula seno outros dois lados serão 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Assim, b = (12s ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0,2588 = 40,155 e c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588 = 32.786 Assim, o perí

Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (2 pi) / 3 e (pi) / 4. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 4, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

P_max = 28,31 unidades O problema fornece dois dos três ângulos em um triângulo arbitrário. Como a soma dos ângulos em um triângulo deve somar 180 graus, ou pi radianos, podemos encontrar o terceiro ângulo: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Vamos desenhar o triângulo: O problema afirma que um dos lados do triângulo tem um comprimento de 4, mas não especifica qual lado. No entanto, em qualquer triângulo dado, é verdade que o menor lado será oposto ao menor ângulo. Se quisermos maximiz

Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (2 pi) / 3 e (pi) / 4. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 19, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

Cor do perímetro mais longa possível (verde) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Três ângulos são (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12 quando os três ângulos se somam ao pi Para obter o perímetro mais longo, o lado 19 deve corresponder ao menor ângulo pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sen (pi / 4) = c / sen ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sen ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Cor perimetral mais longa possível (verde) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842 )