Qual é o ortocentro de um triângulo com cantos em (9, 5), (3, 8) e (5, 6)?

Responda:

Degraus: (1) encontre as encostas de 2 lados, (2) encontre as encostas das linhas perpendiculares a esses lados, (3) encontre as equações das linhas com aquelas encostas que passam pelos vértices opostos, (4) encontre a encosta ponto onde essas linhas se cruzam, que é o ortocentro, neste caso #(6.67, 2.67)#.

Explicação:

Para encontrar o ortocentro de um triângulo, encontramos as inclinações (gradientes) de dois dos seus lados, depois as equações das linhas perpendiculares a esses lados.

Podemos usar essas inclinações mais as coordenadas do ponto oposto ao lado relevante para encontrar as equações das linhas perpendiculares aos lados que passam pelo ângulo oposto: elas são chamadas de 'altitudes' para os lados.

Onde as altitudes de dois dos lados se cruzam é o ortocentro (a altitude para o terceiro lado também passaria por este ponto).

Vamos rotular nossos pontos para facilitar a referência a eles:

Ponto A = #(9, 5)#

Ponto B = #(3, 8)#

Ponto C = #(5, 6)#

Para encontrar a inclinação, use a fórmula:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Nós não queremos essas inclinações, mas as encostas das linhas perpendiculares (em ângulos retos) a elas. A linha perpendicular a uma linha com declive # m # tem inclinação # -1 / m #, então a linha perpendicular a # AB # tem inclinação #-2# e a linha perpendicular a # BC # tem inclinação #1#.

Agora podemos encontrar as equações das altitudes do ponto C (oposto ao AB) e do ponto A (oposto ao BC), respectivamente, substituindo as coordenadas desses pontos na equação.

# y = mx + c #

Para o ponto C, a altitude é:

# 6 = -2 (5) + c # que dá # c = 6 + 10 = 16 # assim sendo #y = -2x + 16 #

Da mesma forma, para o ponto A:

# 5 = 1 (9) + c # que dá # c = 5-9 = -4 # então a equação é:

# y = x-4 #

Para encontrar o ortocentro, simplesmente precisamos encontrar o ponto em que essas duas linhas se cruzam. Nós podemos igualá-los um ao outro:

# -2x + 16 = x-4 #

Reorganizando, # 3x = 20 para x ~~ 6,67 #

Substitua em qualquer uma das equações para encontrar o # y # valor, que é #2.67#.

Portanto, o ortocentro é o ponto #(6.67, 2.67)#.