Qual é a forma padrão da equação da parábola com uma diretriz em x = 103 e um foco em (108,41)?

Responda:

# x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Explicação:

Uma parábola é o locus de um ponto, que se move de modo que sua distância de uma dada linha chamada diretriz e um dado ponto chamado foco seja sempre igual.

Agora, a distância entre duas pintas # (x_1, y_1) # e # (x_2, y_2) # É dado por #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # e distância de um ponto # (x_1, y_1) # de uma linha # ax + por + c = 0 # é # | (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Chegando à parábola com directrix # x = 103 # ou # x-103 = 0 # e foco #(108,41)#, deixe o ponto equidistante de ambos ser # (x, y) #. A distância de # (x, y) # de # x-103 = 0 # é

# | (x-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

e sua distância de #(108,41)# é

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

e como os dois são iguais, a equação da parábola seria

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

ou # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

ou # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

ou # y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

ou # 10x = y ^ 2-82a + 2736 #

ou # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

ou em forma de vértice # x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

e vértice é #(105 1/2,41)#

Seu gráfico aparece como mostrado abaixo, junto com foco e diretriz.

gráfico {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0,6) (x-103) = 0 51,6, 210,4, -13,3, 66,1}