Qual é a área de um hexágono regular com um apótema de 6m de comprimento?

Responda:

#S_ (hexágono) = 216 / sqrt (3) = 36sqrt (3) ~ = 62.35m ^ 2 #

Explicação:

Com referência ao hexágono regular, da imagem acima podemos ver que ele é formado por seis triângulos cujos lados são os raios de dois círculos e o lado do hexágono. O ângulo de cada vértice desses triângulos que está no centro do círculo é igual a #360^@/6=60^@# e assim devem ser os outros dois ângulos formados com a base do triângulo para cada um dos raios: então esses triângulos são equiláteros.

O apótema divide igualmente cada um dos triângulos equiláteros em dois triângulos retos cujos lados são o raio do círculo, o apótema e metade do lado do hexágono. Desde que o apótema forma um ângulo reto com o lado do hexágono e desde o lado do hexágono se forma #60^@# com um raio de círculo com um ponto final em comum com o lado do hexágono, podemos determinar o lado desta maneira:

#tan 60 ^ @ = ("cathetus oposto") / ("cathetus adjacente") # => #sqrt (3) = (Apothem) / ((lado) / 2 # => # side = (2 / sqrt (3)) Apothem #

Como já mencionado, a área do hexágono regular é formada pela área de 6 triângulos equiláteros (para cada um desses triângulos a base é do lado de um hexágono e o apótema funciona como altura) ou:

#S_ (hexagon) = 6 * S_triangle = 6 ((base) (altura)) / 2 = 3 (2 / sqrt (3)) Apothem * Apothem = (6 / sqrt (3)) (Apothem) ^ 2 #

=> #S_ (hexagon) = (6 xx 6 ^ 2) / sqrt (3) = 216 / sqrt (3) #