Seja f (x) = (5/2) sqrt (x). A taxa de mudança de f em x = c é duas vezes a taxa de mudança em x = 3. Qual é o valor de c?

Começamos por diferenciar usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Deixei #y = u ^ (1/2) # e #u = x #.

#y '= 1 / (2u ^ (1/2)) # e #u '= 1 #

#y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) #

Agora, pela regra do produto;

#f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 #

#f '(x) = 5 / (4sqrt (x)) #

A taxa de mudança em qualquer ponto da função é dada pela avaliação #x = a # no derivado. A questão diz que a taxa de mudança em #x = 3 # é o dobro da taxa de mudança em #x = c #. Nossa primeira ordem de negócio é encontrar a taxa de mudança em #x = 3 #.

# r.c = 5 / (4sqrt (3)) #

A taxa de mudança em #x = c # é então # 10 / (4sqrt (3)) = 5 / (2sqrt (3)) #.

# 5 / (2sqrt (3)) = 5 / (4sqrt (x)) #

# 20sqrt (x) = 10sqrt (3) #

# 20sqrt (x) - 10sqrt (3) = 0 #

# 10 (2sqrt (x) - sqrt (3)) = 0 #

# 2sqrt (x) - sqrt (3) = 0 #

# 2sqrt (x) = sqrt (3) #

# 4x = 3 #

#x = 3/4 #

Então, o valor de # c # é #3/4#.

Espero que isso ajude!