Temos x, y, t em RR tal que x + y + t = 2, xy + yt + xt = 1. Como provar que x, y, t em [0,4 / 3]?

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Focando em # t #

Encontrar # ((min), (max)) t #

sujeito a

# g_1 (x, y, t) = x + y + t-2 = 0 # e

# g_2 (x, y, t) = xy + yt + xt-1 = 0 #

Formando o lagrangiano

#L (x, y, t, lambda_1, lambda_2) = t + lambda_1 g_1 (x, y, t) + lambda_2 g_2 (x, y, t) #

As condições estacionárias são

#grad L = 0 # ou

# {(lambda_1 + lambda_2 (t + y) = 0), (lambda_1 + lambda_2 (t + x) = 0), (1 + lambda_1 + lambda_2 (x + y) = 0), (t + x + y = 2), (tx + ty + xy = 1):} #

Resolvendo nós temos

# ((x, y, t, lambda_1, lambda_2), (1,1,0,1, -1), (1 / 3,1 / 3,4 / 3, -5 / 3,1)) # para que possamos ver isso

#t em 0,4 / 3 #

Fazendo este procedimento para # x # e # y # nós também obtemos

#x em 0, 4/3 # e

#y em 0, 4/3 #