Quais são os erros comuns que os alunos cometem com as reticências em formato padrão?

O formulário padrão para uma elipse (como eu ensino) se parece com: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) é o centro.

a distância "a" = quanto à direita / esquerda para se deslocar do centro para encontrar os pontos finais horizontais.

a distância "b" = o quão longe para cima / para baixo a partir do centro para encontrar os pontos finais verticais.

Eu acho que muitas vezes os alunos pensam erroneamente que # a ^ 2 # é quão longe se afastar do centro para localizar os pontos finais. Às vezes, isso seria uma distância muito grande para viajar!

Além disso, acho que às vezes os alunos movem-se erroneamente para cima / para baixo, em vez de direita / esquerda, ao aplicar essas fórmulas a seus problemas.

Aqui está um exemplo para falar sobre:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

O centro é (1, -4). Você deve se mover para a direita e para a esquerda "a" = 2 unidades para obter os pontos finais horizontais em (3, -4) e (-1, -4). (ver imagem)

Você deve mover para cima e para baixo "b" = 3 unidades para obter os pontos finais verticais em (1, -1) e (1, -7). (ver imagem)

Como a <b, o eixo maior estará na direção vertical.

Se a> b, o eixo maior estará indo na direção horizontal!

Se você precisar descobrir alguma outra informação sobre elipses, faça outra pergunta!

(Confusão sobre se #uma# e # b # representam os raios maior / menor, ou o # x #- & # y #-radii)

Lembre-se que o formulário padrão para uma elipse centrado na origem é

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

No entanto, alguns já contestam a fórmula listada acima. Algumas escolas de pensamento sustentam que #uma# deve ser sempre maior que # b # e assim representar o comprimento do raio principal (mesmo se o raio maior estiver na direção vertical, permitindo assim # y ^ 2 / a ^ 2 # nesse caso), enquanto outros afirmam que ela deve sempre representar o # x #-radius (mesmo se o # x #-radius é o raio menor).

O mesmo acontece com # b #, embora em sentido inverso. (por exemplo, alguns acreditam que # b # deve ser sempre o menor raio, e outros acreditam que deve ser sempre o # y #-raio).

Certifique-se de saber qual método seu instrutor (ou o programa que você está usando) prefere. Se não existir uma forte preferência, simplesmente decida por si mesmo, mas seja consistente com sua decisão. Mudar de ideia na metade do trabalho tornará as coisas pouco claras, e mudando de ideia a meio caminho de uma única problema só vai levar a erros.

(Confusão do raio / eixo)

A maioria dos erros nas elipses parece resultar dessa confusão sobre qual raio é maior e qual é menor. Outros erros possíveis podem surgir se um confundir o raio principal com o eixo maior (ou o raio menor com o eixo menor). O eixo maior (ou menor) é igual a duas vezes o raio maior (ou menor), pois é essencialmente o diâmetro maior (ou menor). Dependendo da etapa em que essa confusão ocorre, isso pode levar a erros graves de escala para a elipse.

(Raio / raio quadrado de confusão)

Um erro semelhante ocorre quando os alunos esquecem que os denominadores (# a ^ 2, b ^ 2 #) são os quadrados dos raios e não os próprios raios. Não é incomum ver um aluno com um problema como # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # desenhe uma elipse com # x #-radio 9 e # y #-radius 4. Além disso, isso pode ocorrer em conjunto com o erro acima (confundindo o raio do diâmetro), levando a resultados como um estudante com a equação acima desenhando uma elipse com diâmetro maior 9 (e, portanto, maior raio 4.5), em vez do diâmetro principal correto 6 (e maior raio 3).

(Confusão de hipérbole e elipse) AVISO: a resposta é bastante longa

Outro erro relativamente comum ocorre quando alguém se lembra mal da fórmula da elipse. Especificamente, o mais comum desses erros parece ocorrer quando se confunde a fórmula das elipses com a das hipérboles (que, lembre-se, é # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # ou # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # para aqueles centrados na origem, novamente sujeitos às convenções de rotulagem de eixos listadas acima). Para isso, ajuda a lembrar a definição de elipses e hipérboles como seções cônicas.

Especificamente, lembre-se que uma elipse é o locus de pontos relacionados a dois focos # f_1 & f_2 # localizado ao longo do eixo maior, de modo que, para um ponto arbitrário # p # no locus, a distância de # p # para # f_1 # (rotulado # d_1 #) mais a distância # p # para # f_2 # (rotulado # d_2 #) é igual a duas vezes o raio principal (ou seja, se #uma# é o maior raio, # d_1 + d_2 = 2a #). Além disso, a distância do centro a um desses focos (às vezes chamado de separação semi-focal ou excentricidade linear), assumindo #uma# é o raio maior, é igual a #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Em contraste, uma hipérbole é o locus de pontos relacionados a dois focos de tal maneira que, por um ponto # p # no locus, o valor absoluto do diferença entre a distância do ponto ao primeiro foco e a distância do ponto ao segundo foco é igual a duas vezes o raio principal (ou seja, #uma# raio principal, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Além disso, a distância do centro da hipérbole a qualquer um desses focos (novamente, às vezes chamado de excentricidade linear, e ainda assumindo #uma# raio maior) é igual a #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

No que diz respeito à definição de secções cónicas, o excentricidade # e # de uma seção determina se é um círculo (# e = 0 #), elipse (# 0 <e <1 #), parábola (# e = 1 #) ou hipérbole (#e> 1 #). Para elipses e hipérboles, a excentricidade pode ser calculada como a razão entre a excentricidade linear e o comprimento do raio maior; assim, para uma elipse será #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (e, portanto, necessariamente menos de 1), e para uma hipérbole será #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (e, portanto, necessariamente maior que 1).