A poluição em uma atmosfera normal é inferior a 0,01%. Devido ao vazamento de um gás de uma fábrica, a poluição é aumentada para 20%. Se todos os dias 80% da poluição é neutralizada, em quantos dias a atmosfera será normal (log_2 = 0,3010)?

Responda:

#ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4,72 # dias

Explicação:

A porcentagem de poluição é de #20%#, e queremos descobrir quanto tempo leva para ir até #0.01%# se a poluição diminui por #80%# todo dia.

Isso significa que a cada dia multiplicamos a porcentagem de poluição #0.2# (#100%-80%=20%)#. Se fizermos isso por dois dias, seria o percentual multiplicado por #0.2#, multiplicado por #0.2# novamente, o que é o mesmo que multiplicar por #0.2^2#. Podemos dizer que se fizermos isso por # n # dias, multiplicaríamos por # 0.2 ^ n #.

#0.2# é a quantidade original de poluição, e #0.0001# (#0.01%# em decimal) é o valor que queremos atingir. Estamos imaginando quantas vezes precisamos multiplicar por #0.2# para chegar lá. Podemos expressar isso na seguinte equação:

# 0.2 * 0.2 ^ n = 0.0001 #

Para resolvê-lo, vamos primeiro dividir ambos os lados por #0.2#:

# (cancel0.2 * 0.2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0.2 ^ n = 0.0001 / 0.2 = 0.0005 #

Agora podemos pegar um logaritmo dos dois lados. Qual logaritmo que usamos realmente não importa, estamos apenas após as propriedades do logaritmo. Vou escolher o logaritmo natural, já que ele está presente na maioria das calculadoras.

#ln (0.2 ^ n) = ln (0,0005) #

Desde a #log_x (a ^ b) = blog_x (a) # podemos reescrever a equação:

#nln (0.2) = ln (0,0005) #

Se dividirmos os dois lados, temos:

# n = ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4,72 #