P (x ^ 2) + xq (x ^ 3) + x ^ 2r (x ^ 3) = (1 + x + x ^ 2) * s (x), p (1) = ks (1) er ( 1) = kp (1). Então k = ?????

Responda:

Ver abaixo

Explicação:

De

#p (x ^ 2) + x * q (x ^ 3) + x ^ 2 * r (x ^ 3) = (1 + x + x ^ 2) * s (x) #

Nós temos

#p (1) + 1 * q (1) + 1 ^ 2 * r (1) = (1 + 1 + 1 ^ 2) * s (1) implica #

#p (1) + q (1) + r (1) = 3s (1) #

Dado # p (1) = ks (1) # e #r (1) = kp (1) = k ^ 2s (1) #, Nós temos

# (k + k ^ 2) s (1) + q (1) = 3s (1) implica #

# k ^ 2 + k-3 + {q (1)} / {s (1)} = 0 #

Esta equação pode ser resolvida facilmente #k # em termos de # {q (1)} / {s (1)} #

No entanto, não posso deixar de sentir que havia mais uma relação no problema que de alguma forma ficou de fora. Por exemplo, se tivéssemos mais uma relação como #q (1) = kr (1) #, teríamos tido # {q (1)} / {s (1)} = k ^ 3 #e a equação final teria se tornado

# k ^ 3 + k ^ 2 + k-3 = 0 implica #

# k ^ 3-k ^ 2 + 2k ^ 2-2k + 3k-3 = 0implies #

# (k-1) (k ^ 2 + 2k + 3) = 0 #

Agora, desde # k ^ 2 + 2k + 3 = (k + 1) ^ 2 + 2 ge 2 #, não pode desaparecer de verdade #k #. Então devemos ter # k = 1 #