Qual é o comprimento do arco de r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) em estanho [1, ln2]?

Responda:

Comprimento do arco #~~ 2.42533 # (5dp)

O comprimento do arco é negativo devido ao limite inferior #1# sendo maior do que o limite superior do # ln2 #

Explicação:

Temos uma função vetorial paramétrica, dada por:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Para calcular o comprimento do arco, precisaremos da derivada do vetor, que podemos calcular usando a regra do produto:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Então calculamos a magnitude do vetor derivativo:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Então podemos calcular o comprimento do arco usando:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

É improvável que possamos calcular essa integral usando a técnica analítica, então usando métodos numéricos obtemos uma aproximação:

# L ~~ 2.42533 # (5dp)

O comprimento do arco é negativo devido ao limite inferior #1# sendo maior do que o limite superior do # ln2 #