Qual é a equação na forma padrão da parábola com um foco em (3,6) e uma diretriz de x = 7?

Responda:

# x-5 = -1 / 8 (y-6) ^ 2 #

Explicação:

Primeiro, vamos analisar o que temos para descobrir em qual direção a parábola está voltada. Isso afetará como será nossa equação. A diretriz é x = 7, o que significa que a linha é vertical e a parábola também.

Mas que direção vai enfrentar: esquerda ou direita? Bem, o foco está à esquerda da diretriz (#3<7#). O foco está sempre contido dentro da parábola, então nossa parábola estará voltada esquerda. A fórmula para uma parábola voltada para a esquerda é esta:

# (x-h) = - 1 / (4p) (y-k) ^ 2 #

(Lembre-se que o vértice é # (h, k) #)

Vamos agora trabalhar na nossa equação! Nós já conhecemos o foco e a diretriz, mas precisamos de mais. Você deve ter notado a carta # p # na nossa fórmula. Você pode saber que isso é a distância do vértice ao foco e do vértice à diretriz. Isso significa que o vértice será a mesma distância do foco e da diretriz.

O foco é #(3,6)#. O ponto #(7,6)# existe na diretriz. #7-3=4//2=2#. Assim sendo, # p = 2 #.

Como isso nos ajuda? Podemos encontrar tanto o vértice do gráfico quanto o fator de escala usando isso! O vértice seria #(5,6)# desde que é duas unidades de distância de ambos #(3,6)# e #(7,6)#. Nossa equação, até agora, lê

# x-5 = -1 / (4p) (y-6) ^ 2 #

O fator de escala deste gráfico é mostrado como # -1 / (4p) #. Vamos trocar # p # para 2:

# -1 / (4p) = - 1 / ((4) (2)) = - 1/8 #

Nossa equação final é:

# x-5 = -1 / 8 (y-6) ^ 2 #