Qual é a área de um trapézio cujas diagonais têm 30 e cuja altura é 18?

Responda:

#S_ (trapezoidal) = 432 #

Explicação:

Considere a Figura 1

Em um trapézio ABCD que satisfaz as condições do problema (onde # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, e AB é paralelo ao CD) notamos, aplicando o Teorema dos Ângulos Interiores Alternativos, que # alfa = delta # e # beta = gama #.

Se desenharmos duas linhas perpendiculares ao segmento AB, formando segmentos AF e BG, podemos ver que #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (porque ambos os triângulos são corretos e sabemos que a hipotenusa de um é igual à hipotenusa do outro e que uma perna de um triângulo é igual a uma perna do outro triângulo) então # alpha = beta # => # gamma = delta #.

Desde a # gamma = delta # nós podemos ver isso #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # e # AD = BC #Portanto, o trapézio é isósceles.

Nós também podemos ver isso #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (ou # x = y # na figura 2).

Considere a Figura 2

Podemos ver que o trapézio na figura 2 tem uma forma diferente da figura 1, mas ambos satisfazem as condições do problema. Apresentei estas duas figuras para mostrar que a informação do problema não permite determinar os tamanhos da base 1 (# m #) e da base 2 (# n #) do trapézio, mas veremos que não há necessidade de mais informações para calcular a área do trapézio.

Em #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (x + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

Desde a # n = m + x + y # e # x = y # => # n = m + 2 * x # e # m + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # m + n = 48 #

#S_ (trapezoidal) = (base_1 + base_2) / 2 * altura = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Nota: poderíamos tentar determinar m e n conjugando estas duas equações:

Em #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

Em #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # Porque #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Mas resolvendo este sistema de duas equações, descobriríamos apenas que m e o lado DE ANÚNCIOS são indeterminados.