Qual é a equação na forma padrão da parábola com foco em (42, -31) e uma diretriz de y = 2?

Responda:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # forma padrão

Explicação:

Por favor, observe que a diretriz é uma linha horizontal

#y = 2 #

Portanto, a parábola é o tipo que se abre para cima ou para baixo; a forma do vértice da equação para este tipo é:

#y = 1 / (4f) (x-h) ^ 2 + k "1" #

Onde # (h, k) # é o vértice e # f # é a distância vertical entre o vértice e o foco.

A coordenada x do vértice é a mesma que a coordenada x do foco:

#h = 42 #

Substituto #42# para # h # na equação 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

A coordenada y do vértice está a meio caminho entre a diretriz e o foco:

#k = (y_ "diretriz" + y_ "foco") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Substituto #-29/2# para #k # na equação 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

A equação para encontrar o valor de # f # é:

#f = y_ "foco" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Substituto #-33/2# para # f # na equação 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Simplifique a fração:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Expanda o quadrado:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Distribua a fração:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Combine termos semelhantes:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # forma padrão

Responda:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Explicação:

Nós vamos resolver isso Problema usando o seguinte Focus Directrix

Propriedade (FDP) do Parábola.

FDP: Qualquer ponto em um Parábola é equidistante de

Foco e a Diretriz.

Vamos, o ponto # F = F (42, -31), "e, a linha" d: y-2 = 0, # estar

a Foco e a Diretriz do Parábola, digamos S.

Deixei, # P = P (x, y) em S, # ser qualquer Ponto Geral.

Então, usando o Fórmula à distância, nós temos a distância

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Sabendo que o #robô-#dist. entre um ponto # (k, k), # e uma linha:

# ax + por + c = 0, # é, # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # nós achamos que

# "o" bot- "dist. btwn" P (x, y), e, d "é," | y-2 | ………….. (2). #

Por FDP, # (1) e (2), # temos, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 | ou #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, ou seja, #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66a-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # que, no Forma padrão, lê, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Como Respeitado Douglas K. Sir já derivou!

Desfrute de matemática!