Qual é o domínio e o intervalo de y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3)?

Responda:

Domínio: # (- oo, -3) uu (-3, oo) #

Alcance: # (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #

Explicação:

O domínio é todos os valores de # y # Onde # y # é uma função definida.

Se o denominador é igual a #0#, a função é normalmente indefinida. Então aqui, quando:

# x + 3 = 0 #, a função é indefinida.

Portanto, no # x = -3 #, a função é indefinida.

Então, o domínio é declarado como # (- oo, -3) uu (-3, oo) #.

O intervalo é todos os valores possíveis de # y #. Também é encontrado quando o discriminante da função é menor que #0#.

Para encontrar o discriminante (#Delta#), devemos fazer da equação uma equação quadrática.

# y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3) #

#y (x + 3) = x ^ 2-x-1 #

# xy + 3y = x ^ 2-x-1 #

# x ^ 2-x-xy-1-3y = 0 #

# x ^ 2 + (- 1-y) x + (- 1-3y) = 0 #

Esta é uma equação quadrática onde # a = 1, b = -1-y, c = -1-3y #

Desde a # Delta = b ^ 2-4ac #podemos inserir:

#Delta = (- 1-y) ^ 2-4 (1) (- 1-3y) #

# Delta = 1 + 2y + y ^ 2 + 4 + 12y #

# Delta = y ^ 2 + 14y + 5 #

Outra expressão quadrática, mas aqui, desde #Delta> = 0 #, é uma desigualdade da forma:

# y ^ 2 + 14y + 5> = 0 #

Nós resolvemos para # y #. Os dois valores de # y # nós obtemos os limites superior e inferior do intervalo.

Como podemos fatorar # ay ^ 2 + por c # Como # (y - (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) (y - (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) #, podemos dizer aqui:

# a = 1, b = 14, c = 5 #. Entrando:

# (- 14 + -sqrt (14 ^ 2-4 * 1 * 5)) / (2 * 1) #

# (- 14 + -sqrt (196-20)) / 2 #

# (- 14 + -sqrt (176)) / 2 #

# (- 14 + -4sqrt (11)) / 2 #

# + - 2sqrt (11) -7 #

Então os fatores são # (y- (2sqrt (11) -7)) (y - (- 2sqrt (11) -7))> = 0 #

assim #y> = 2sqrt (11) -7 # e #y <= - 2sqrt (11) -7 #.

Na notação de intervalo, podemos escrever o intervalo como:

# (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #