Nós temos: {1,2,3} -> {1,2} e g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Quantas fgações injetivas existem?

Responda:

# f # não pode ser injetivo.

# g # pode ser injetivo em #24# maneiras.

Explicação:

Uma função é injetora se duas entradas não fornecerem a mesma saída. Em outras palavras, algo como

#f (x) = f (y), quad x ne y #

não pode acontecer.

Isto significa que, no caso do domínio finito e do codomain, uma função pode ser injetiva se e somente se o domínio for menor que o codomain (ou, no máximo, igual), em termos de cardinalidade.

Isso é por que # f # nunca pode ser injetivo. Na verdade, você pode consertar #f (1) # Como você quiser. Dizer #f (1) = 1 #, por exemplo. Ao escolher #f (2) #, não podemos dizer de novo que #f (2) = 1 #ou # f # não seria injetivo. Mas quando se trata de #f (3) # não temos escolha, se dissermos #f (3) = 1 # temos #f (1) = f (3) #e se dissermos #f (3) = 2 # temos #f (2) = f (3) #.

Em outras palavras, devemos avaliar uma das duas saídas possíveis para cada uma das três entradas. Deve ficar evidente que as entradas não podem fornecer saídas diferentes.

Por outro lado # g # pode ser injetivo, já que há "espaço suficiente": cada uma das três entradas pode escolher uma das quatro saídas de forma que nenhuma entrada diferente forneça a mesma saída.

Mas de quantas maneiras? Bem, suponha que começamos de novo com #f (1) #. Podemos escolher qualquer uma das quatro saídas para essa entrada, para que possamos escolher #f (1) # de quatro maneiras.

Quando se trata de #f (2) #, perdemos alguma liberdade: podemos atribuir qualquer valor para #f (2) #, exceto aquele que atribuímos #f (1) #, então ficamos com duas escolhas. Por exemplo, se consertamos #f (1) = 2 #, então #f (2) # pode ser #1#, #3# ou #4#.

Pela mesma lógica, temos duas escolhas para #f (3) #: das quatro escolhas possíveis, descartamos as que já foram designadas #f (1) # e #f (3) #.

Então, podemos definir # g # em #4*3*2 = 24# maneiras de tal # g # é injetivo.