Duas vezes o quadrado do primeiro subtraído do quadrado do segundo é -167, quais são os dois inteiros?

Responda:

Mesmo se assumirmos que os inteiros são ambos positivos, há um número infinito de soluções para essa questão. Os valores mínimos (positivos) são

#(11,12)#

Explicação:

Se o primeiro inteiro é # x # e o segundo inteiro é # y #

# y ^ 2-2x ^ 2 = -167 #

# y ^ 2 = 2x ^ 2-167 #

#y = + -sqrt (2x ^ 2-167) #

#color (branco) ("XXXX") #(daqui em diante, vou limitar minha resposta a valores positivos)

E se # y # é um inteiro

#rArr 2x ^ 2-167 = k ^ 2 # para algum inteiro #k #

Poderíamos limitar nossa pesquisa observando que #k # deve ser estranho.

Desde a # x # é um inteiro

#color (branco) ("XXXX") ## (k ^ 2-167) / 2 # também deve ser um inteiro

Infelizmente, existem muitas soluções para #k # que satisfaçam as condições estabelecidas:

# {:(k,, primeiro, segundo), (11,, 12, 11), (15, 14,15), (81,, 58,81), (101, 72, 101), (475,, 336,475), (591, 418,591):} #

são os valores que eu encontrei para #k <1000 #

e todos eles satisfazem as condições dadas.

(… e, sim, eu sei # k = y #).