A hipotenusa de um triângulo angular isósceles tem suas extremidades nos pontos (1,3) e (-4,1). Qual é o método mais fácil para descobrir as coordenadas do terceiro lado?

Responda:

# (- 1/2, -1 / 2) ou (-5 / 2,9 / 2) #.

Explicação:

Nomeie o triângulo direito isósceles Como # DeltaABC #, e deixar

# AC # seja o hipotenusa, com # A = A (1,3) e C = (- 4,1) #.

Consequentemente, # BA = BC #.

Então se # B = B (x, y) #, então, usando o fórmula da distância,

# BA ^ 2 = BC ^ 2rArr (x-1) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (x + 4) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #.

# rArrx ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-6y + 9 = x ^ 2 + 8x + 16 + y ^ 2-2a + 1 #

# rArr10x + 4y + 7 = 0 …………………………………… …………… << 1 >> #.

Tambem como #BAbotBC, "declive de inclinação" BAxx "de" BC = -1 #.

#:. {(y-3) / (x-1)} {(y-1) / (x + 4)} = - 1 #.

#:. (y ^ 2-4y + 3) + (x ^ 2 + 3x-4) = 0 #.

#:. x ^ 2 + y ^ 2 + 3x-4y-1 = 0 ………………………… << 2 >> #.

# << 1 >> rArr y = - (10x + 7) / 4 … << 1 '>> #. Sub-em #<<2>>#, Nós temos, # x ^ 2 + (- (10x + 7) / 4) ^ 2 + 3x-4 (- (10x + 7) / 4) -1 = 0 #.

#:. 16x ^ 2 + (100x ^ 2 + 140x + 49) + 48x + 160x + 112-16 = 0 #

#:. 116x ^ 2 + 348x + 145 = 0 #.

# "Dividindo por" 29, "temos", 4x ^ 2 + 12x + 5 = 0 ou #

# 4x ^ 2 + 12x = -5 #, # rArr4x ^ 2 + 12x + 9 = -5 + 9 …… porque, "completando o quadrado" #,

#rArr (2x + 3) ^ 2 = 4 = 2 ^ 2:. 2x + 3 = + - 2:. 2x = -3 + -2 #.

#:. x = -1 / 2, ou, x = -5 / 2 #.

# << 1 '>> rary y = -1 / 2, ou, y = 9/2 #.

Portanto, o vértice restante do triângulo pode ser, # (- 1/2, -1 / 2) ou (-5 / 2,9 / 2) #.