Um triângulo isósceles tem lados A, B e C com os lados B e C sendo iguais em comprimento. Se o lado A passar de (1, 4) para (5, 1) e a área do triângulo for 15, quais são as possíveis coordenadas do terceiro canto do triângulo?

Responda:

Os dois vértices formam uma base de comprimento 5, então a altitude deve ser 6 para obter a área 15. O pé é o ponto médio dos pontos, e seis unidades em qualquer direção perpendicular # (33/5, 73/10)# ou #(- 3/5, - 23/10) #.

Explicação:

Dica profissional: tente manter a convenção de letras pequenas para lados triangulares e maiúsculas para vértices triangulares.

Recebemos dois pontos e uma área de um triângulo isósceles. Os dois pontos fazem a base, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

O pé # F # da altitude é o ponto médio dos dois pontos, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

O vetor de direção entre os pontos é #(1-5, 4-1)=(-4,3)# com magnitude 5 como apenas calculado. Obtemos o vetor de direção da perpendicular, trocando os pontos e negando um deles: #(3,4)# que também deve ter magnitude cinco.

Desde a área # A = frac 1 2 b h = 15 # Nós temos # h = (2 * 15) /b=6.#

Então precisamos nos mover #6# unidades de # F # em qualquer direção perpendicular para obter o nosso terceiro vértice que eu chamei # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) ou C = (- 3/5, - 23/10) #

Verifica: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

A área assinada é então metade do produto cruzado

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Esse é o fim, mas vamos generalizar a resposta um pouco. Vamos esquecer que é isósceles. Se tivermos C (x, y), a área é dada pela fórmula do cadarço:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5a-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

A área é #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4a - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # ou # -11 = 3x + 4y #

Então, se o vértice C estiver em uma dessas duas linhas paralelas, teremos um triângulo da área 15.

Deixei # PR = A # ser o lado do triângulo isósceles tendo coordenadas de seus pontos finais da seguinte forma

#Pto (1,4) # e #Rto (5,1) #

Deixe as coordenadas do terceiro ponto do triângulo ser # (x, y) #.

Como # (x, y) # é eqüidistante de P e R podemos escrever

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2a + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6a) / 8 …… 1 #

Novamente # (x, y) # sendo equidistante de P e R, a perpendicular caiu de # (x, y) # para # PR # deve bisectá-lo, deixe este pé do ponto perpendicular ou médio de # PR # estar # T #

Então coordenadas de #Tto (3,2,5) #

Agora altura do triângulo isósceles

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

E a base do triângulo isósceles

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Então, pelo problema de sua área

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Por 2 e 1 recebemos

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

assim # y = 7,3 e y = -2,3 #

quando # y = 7,3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

quando # y = -2.3 #

# x = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Então as coordenadas do terceiro ponto serão

# (6.6.7.3) para "Q na figura" #

OU

# (- 0.6, -2.3) para "S na figura" #