Quais são os extremos locais, se houver, de f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Responda:

#(0.14414, 0.05271)# é um máximo local

#(1.45035, 0.00119)# e #(-1.59449, -1947.21451)# são os mínimos locais.

Explicação:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Isso não se qualifica como um extremo local.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Para resolver as raízes dessa função cúbica, usamos o método de Newton-Raphson:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Este é um processo iterativo que nos aproximará cada vez mais da raiz da função. Eu não estou incluindo o longo processo aqui, mas tendo chegado na primeira raiz, podemos realizar uma divisão longa e resolver a quadrática restante facilmente para as outras duas raízes.

Nós vamos ter as seguintes raízes:

# x = 0.14414, 1.45035 e -1.59449 #

Agora, realizamos um primeiro teste derivativo e tentamos valores à esquerda e à direita de cada raiz para ver onde a derivada é positiva ou negativa.

Isso nos dirá qual ponto é o máximo e qual o mínimo.

O resultado será o seguinte:

#(0.14414, 0.05271)# é um máximo local

#(1.45035, 0.00119)# e #(-1.59449, -1947.21451)# são os mínimos locais.

Você pode ver um dos mínimos no gráfico abaixo:

A visão a seguir mostra o máximo e o outro mínimo: