Qual é o domínio e alcance de f (x) = {x ^ 2 - 81} / {x ^ 2 - 4x}?

Responda:

# D_f = RR- {0,4} = (- oo, 0) uu (0,4) uu (4, + oo) # Faixa #f (D_f) = (- oo, (81-9sqrt65) / 8 uu (81 + 9sqrt65) / 8, + oo) #

Explicação:

#f (x) = (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) #

Para que esta função seja definida, precisamos # x ^ 2-4x! = 0 #

Nós temos # x ^ 2-4x = 0 # #<=># #x (x-4) = 0 # #<=># # (x = 0, x = 4) #

assim # D_f = RR- {0,4} = (- oo, 0) uu (0,4) uu (4, + oo) #

Para # x ## inD_f #, #f (x) = (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) # #=# # ((x-9) (x + 9)) / (x ^ 2-4x) #

#f (x) = 0 <=> (x = 9, x = -9) #

• # (x ^ 2-81) / (x ^ 2-4x) = y # #<=># # x ^ 2-81 = y (x ^ 2-4x) #

# x ^ 2-81 = yx ^ 2-4xy #

• Adicionando #color (verde) (4yx) # em ambos os lados,

# x ^ 2-81 + 4yx = yx ^ 2 #

• Subtraindo #color (vermelho) (yx ^ 2) # de ambos os lados

# x ^ 2-81 + 4yx-yx ^ 2 = 0 # #<=>#

# x ^ 2 (1-y) + 4xy-81 = 0 #

Esta é a equação quadrática para # x # assim

# a = 1-y #

# b = 4y #

# c = -81 #

Nós precisamos # D = b ^ 2-4 * a * c> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2-4 (1-y) * (- 81)> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2 + 324 (1-y)> = 0 # #<=>#

# 16y ^ 2-324y + 324> = 0 # #<=>#

# 4y ^ 2-81y + 81> = 0 #

#y_ (1,2) = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

#=# # (81 + -sqrt (6561-1296)) / 8 #

#=# # (81 + -sqrt (5265)) / 8 #

#=# # (81 + -9sqrt65) / 8 #

# 4y ^ 2-81y + 81> = 0 # #<=># # (y <= (81-9sqrt65) / 8 # ou #y> = (81 + 9sqrt65) / 8) #

assim, #f (x) <= (81-9sqrt65) / 8 # ou #f (x)> = (81 + 9sqrt65) / 8 #

Que significa, #f (D_f) = (- oo, (81-9sqrt65) / 8 uu (81 + 9sqrt65) / 8, + oo) #