Quais são as dimensões de uma caixa que usará a quantidade mínima de materiais, se a empresa precisar de uma caixa fechada na qual a parte inferior tenha a forma de um retângulo, onde o comprimento seja duas vezes maior que a largura e a caixa 9000 polegadas cúbicas de material?

Vamos começar colocando algumas definições.

Se nós chamarmos # h # a altura da caixa e # x # os lados menores (então os lados maiores são # 2x #, Nós podemos dizer que volume

# V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 # de onde extraímos # h #

# h = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 #

Agora para o superfícies (= material)

Superior e inferior: # 2x * x # vezes #2-># Area =# 4x ^ 2 #

Lados curtos: # x * h # vezes #2-># Area =# 2xh #

Lados longos: # 2x * h # vezes #2-># Area =# 4xh #

Área total:

# A = 4x ^ 2 + 6xh #

Substituindo por # h #

# A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 #

Para encontrar o mínimo, diferenciamos e definimos #UMA'# para #0#

# A '= 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0 #

O que leva a # 8x ^ 3 = 27000-> x ^ 3 = 3375-> x = 15 #

Responda:

Lado curto é #15# polegadas

Lado longo é #2*15=30# polegadas

Altura é #4500/15^2=20# polegadas

Verifique sua resposta! #15*30*20=9000#