Um pedaço de 20 cm de comprimento é cortado em duas partes. Uma das peças é usada para formar um perímetro de um quadrado?

Responda:

# "Área total mínima = 10.175 cm²." #

# "Área total máxima = 25 cm²" #

Explicação:

# "Nome xo comprimento da peça para formar um quadrado." #

# "Então a área da praça é" (x / 4) ^ 2 "." #

# "O perímetro do triângulo é" 20-x "." #

# "Se y é um dos lados iguais do triângulo, então temos" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => area = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Área total =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Esta é uma parábola e o mínimo para uma parábola" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "é" x = -b / (2 * a) ", se a> 0." #

# "O máximo é" x-> oo ", se a> 0." #

# "Então o mínimo é" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Área total =" 10.175 "cm²." #

# "O máximo é x = 0 ou x = 20." #

# "Verificamos a área:" #

# "Quando" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17,157 "cm²" #

# "Quando" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Então a área total máxima é de 25 cm²." #

Responda:

A área mínima é #10.1756# e o máximo é #25#

Explicação:

O perímetro de um triângulo isósceles em ângulo reto do lado #uma# é # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # e sua área é # a ^ 2/2 #,

Deixe uma peça ser # x # cm. a partir do qual formamos um triângulo isósceles em ângulo reto. É evidente que o lado do triângulo isósceles angular direito seria # x / (2 + sqrt2) # e sua área seria

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

O perímetro de outra parte da corda que forma um quadrado é # (20-x) # e como o lado da praça é # (20-x) / 4 # sua área é # (20-x) ^ 2/16 # e área total # T # dos dois é

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Observe aquilo # 3-2sqrt2> 0 #, portanto coeficiente de # x ^ 2 # é positivo e, portanto, teremos um mínimo e podemos escrever # T # Como

# T = 0,1054x ^ 2-2,5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

Como # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # é sempre positivo, temos valor mínimo de # T # quando # x = 11.8596 #.

Observe que, teoricamente, não há máximas para a função, mas como valor de # x # situa-se entre #0,20#, e quando # x = 0 #, temos # T = 0,1054 (0-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

e quando # x = 20 # quando # T = 0,1054 (20-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

e, portanto, maxima é #25#

gráfico {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}