O que é o ortocentro de um triângulo com vértices em O (0,0), P (a, b) e Q (c, d)?

Responda:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Explicação:

Eu generalizei essa velha questão em vez de pedir uma nova. Eu fiz isso antes para uma questão de circunferência e nada de ruim aconteceu, então continuo a série.

Como antes, coloquei um vértice na origem para tentar manter a álgebra tratável. Um triângulo arbitrário é facilmente traduzido e o resultado é facilmente traduzido de volta.

O ortocentro é a interseção das altitudes de um triângulo. Sua existência é baseada no teorema de que as altitudes de um triângulo se cruzam em um ponto. Nós dizemos que as três altitudes são concorrente.

Vamos provar que as altitudes do triângulo OPQ são concorrentes.

O vetor de direção do lado OP é # P-O = P = (a, b), # que é apenas uma maneira elegante de dizer que a inclinação é #BA# (mas o vetor de direção também funciona quando # a = 0 #). Nós obtemos o vetor de direção da perpendicular trocando as coordenadas e negando uma, aqui #(BA).# Perpendicularmente é confirmado pelo produto de ponto zero:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

A equação paramétrica da altitude de OP para Q é assim:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quádruplo sério # t #

A altitude de OQ para P é similarmente

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # sério #você#

O vetor de direção do PQ é # Q-P = (c-a, d-b) #. A perpendicular através da origem, ou seja, a altitude de PQ, é assim

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # sério # v #

Vamos ver o encontro das altitudes de OP e PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Isso é duas equações em dois desconhecidos, # t # e # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Nós vamos multiplicar o primeiro por #uma# e o segundo por # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Adicionando, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (anúncio - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Maneira legal com o produto de ponto no numerador e produto cruzado no denominador.

O encontro é o presumido ortocentro # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Vamos encontrar o encontro das altitudes de OQ e PQ em seguida. Por simetria podemos apenas trocar #uma# com # c # e # b # com # d #. Vamos ligar para o resultado # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Nós temos esses dois cruzamentos são os mesmos, # (x ', y') = (x, y), # então provamos que as altitudes são simultâneas. #quad sqrt #

Nós justificamos a nomeação do cruzamento comum ortocentro e encontramos suas coordenadas.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #