Quais são os máximos e mínimos locais de f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Responda:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Esta função tem uma assíntota vertical em # x = 2 #abordagens #1# de cima como x vai para # + oo # (assíntota horizontal) e abordagens #1# de baixo como x vai para #ooo. Todos os derivados são indefinidos em # x = 2 # também. Há um mínimo local em # x = 0 #, # y = 0 # (Todo esse problema pela origem!)

Note que você pode querer verificar a minha matemática, mesmo o melhor de nós soltar o sinal negativo estranho e esta é uma pergunta longa.

Explicação:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Esta função tem uma assíntota vertical em # x = 2 #porque o denominador é zero quando # x = 2 #.

Se aproxima #1# de cima como x vai para # + oo # (assíntota horizontal) e abordagens #1# de baixo como x vai para #ooo, porque para valores grandes # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # com # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # para #x> 0 # e # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # para #x <0 #.

Para encontrar max / min, precisamos da primeira e da segunda derivada.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Use a regra do quociente!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Usando a regra de poderes e a regra da cadeia, obtemos:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Nós agora arrumamos um pouco …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Agora a segunda derivada, feita como a primeira.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

É feio, mas só precisamos ligar e ver onde está mal comportado.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Esta função é indefinida em # x = 2 #, que assíntota, mas parece bem em todos os lugares.

Queremos saber se os max / min são …

montamos # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # isso é zero quando o numerador é zero e se o denominador não é.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # ou # 4x (2-x) = 0 # Isso é zero em # x = 0 # e # x = 2 #, mas não podemos ter um max / min onde a derivada / função é indefinida, então a única possibilidade é # x = 0 #.

"o segundo teste derivado"

Agora olhamos para a segunda derivada, feia como é …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Como a função e a primeira derivada, isso é indefinido em # x = 2 #, mas parece bem em qualquer outro lugar.

Nós plugamos # x = 0 # para dentro # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, não é zero um número tão bonito para ligá-lo?

#=128/256# tudo isso para #1/2#

#1/2 >0# assim # x = 0 # é um mínimo local.

Para encontrar o valor y precisamos conectá-lo à função.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # A origem!