Qual é o novo método de transformação para resolver equações quadráticas?

Digamos, por exemplo, você tem …

# x ^ 2 + bx #

Isso pode ser transformado em:

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Vamos descobrir se a expressão acima se traduz de novo # x ^ 2 + bx #…

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({x + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (x + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = x ^ 2 + bx #

A resposta é sim.

Agora, é importante notar que # x ^ 2-bx # (observe o sinal de menos) pode ser transformado em:

# (x-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

O que você está fazendo aqui é Completando o quadrado. Você pode resolver muitos problemas quadráticos completando o quadrado.

Aqui está um exemplo primário desse método no trabalho:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# x ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# x = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

A famosa fórmula quadrática pode ser derivada por Completando o quadrado.

O novo método de transformação para resolver equações quadráticas.

CASO 1. Tipo de resolução # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Resolver significa encontrar 2 números sabendo sua soma (#b #) e seu produto (# c #). O novo método compõe pares de fatores de (# c #) e, ao mesmo tempo, aplica a Regra dos Sinais. Então, ele encontra o par cuja soma é igual a (# b #) ou#b #).

Exemplo 1. Resolver # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Solução. Compor pares de fatores de #c = -102 #. Raízes têm sinais diferentes. Prosseguir: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# A última soma # (- 6 + 17 = 11 = -b). # Então as duas raízes reais são: #-6# e #17#. Não factoring por agrupamento.

CASO 2. Resolvendo o tipo padrão: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

O novo método transforma esta equação (1) para: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Resolva a equação (2) como fizemos no CASO 1 para obter as duas raízes reais # y_1 # e # y_2 #. Em seguida, divida # y_1 # e # y_2 # pelo coeficiente a para obter as duas raízes reais # x_1 # e # x_2 # da equação original (1).

Exemplo 2. Resolver # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240. #

Equação transformada: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Resolva a equação (2). Ambas as raízes são positivas (regra dos sinais). Compor pares de fatores de # a * c = 240 #. Prosseguir: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Esta última soma é # (5 + 48 = 53 = -b) #. Então, as duas raízes reais são: # y_1 = 5 # e

# y_2 = 48 #. De volta à equação original (1), as duas raízes reais são: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # e # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Nenhum factoring e resolução de binômios.

As vantagens do novo Método de Transformação são: simples, rápido, sistemático, sem adivinhação, sem fatoração por agrupamento e sem binômios de solução.