Temos um círculo com um quadrado inscrito com um círculo inscrito com um triângulo equilátero inscrito. O diâmetro do círculo externo é de 8 pés. O material do triângulo custa US $ 104,95 por pé quadrado. Qual é o custo do centro triangular?

Responda:

O custo de um centro triangular é de US $ 1.090,67

Explicação:

#AC = 8 # como um determinado diâmetro de um círculo.

Portanto, do teorema de Pitágoras para o triângulo isósceles direito #Delta ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

Então, desde #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

Obviamente, triângulo #Delta GHI # é equilateral.

Ponto # E # é um centro de um círculo que circunscreve #Delta GHI # e, como tal, é um centro de interseção de medianas, altitudes e bissectros de ângulo deste triângulo.

Sabe-se que um ponto de interseção de medianas divide essas medianas na razão 2: 1 (para prova veja Unizor e siga os links Geometria - Linhas Paralelas - Mini Teoremas 2 - Teorem 8)

Assim sendo, # GE # é #2/3# de toda a mediana (e altitude e bissetriz) do triângulo #Delta GHI #.

Então, nós sabemos a altitude # h # do #Delta GHI #, é igual a #3/2# multiplicado pelo comprimento de # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

Sabendo # h #podemos calcular o comprimento do lado #uma# do #Delta GHI # usando o Teorema de Pitágoras:

# (a / 2) ^ 2 + h ^ 2 = a ^ 2 #

Da qual segue:

# 4h ^ 2 = 3a ^ 2 #

# a = (2h) / sqrt (3) #

Agora podemos calcular #uma#:

#a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

A área de um triângulo é, portanto, #S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3) #

A um preço de US $ 104,95 por pé quadrado, o preço de um triângulo é

#P = 104.95 * 6sqrt (3) ~~ 1090.67 #