Prove que a área sombreada de púrpura é igual à área do círculo do triângulo equilátero (círculo listrado amarelo)?

Responda:

Explicação:

A área do incirculo é # pir ^ 2 #.

Observando o triângulo retângulo com hipotenusa # R # e perna # r # na base do triângulo equilátero, através da trigonometria ou das propriedades do #30 -60 -90 # triângulos retos, podemos estabelecer a relação que # R = 2r #.

Note que o ângulo oposto # r # é #30 # desde o triângulo equilátero #60 # ângulo foi dividido.

Este mesmo triângulo pode ser resolvido através do teorema de Pitágoras para mostrar que metade do comprimento do lado do triângulo equilátero é #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Agora, examinando metade do triângulo equilátero como um triângulo retângulo, vemos que a altura # h # do triângulo equilátero pode ser resolvido em termos de # r # usando o relacionamento #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Desde a #tan (60) = sqrt3 #, isso se torna # h / (rsqrt3) = sqrt3 # assim # h = 3r #.

A área do triângulo equilátero é então # 1 / 2bh #e sua base é # 2rsqrt3 # e sua altura # 3r #. Assim, sua área é # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

A área da região sombreada menor é igual a um terço da área do triângulo equilátero menos o círculo, ou # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # que é equivalente a # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

A área do círculo maior é # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

A área da região sombreada maior é um terço da área do círculo maior menos a área do triângulo equilátero, ou # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # o que simplifica ser # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

A área total da área sombreada é então # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, que é equivalente à área do círculo.

Responda:

Explicação:

Para um triângulo equilátero centro de gravidade, centro de circunferência e ortocentro coincidem.

Então raio do círculo cíclico (R) e raio do círculo (r) terão a seguinte relação

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Agora, a partir da figura, é óbvio que área da região sombreada BIG roxa# = 1/3 (piR ^ 2-delta) #

E área da pequena região sombreada de roxo# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

Onde #Delta # representa a área do triângulo equilátero.

assim

#color (roxo) ("Área total da região sombreada BIG e SMALL purple" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Inserindo R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> cor (laranja) "Área do círculo listrado amarelo" #