Como você simplifica 2cos ^ 2 (4θ) -1 usando uma fórmula de ângulo duplo?

Responda:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Explicação:

Existem várias fórmulas de ângulo duplo para o cosseno. Normalmente, o preferido é aquele que transforma um cosseno em outro cosseno:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Nós podemos realmente levar este problema em duas direções. A maneira mais simples é dizer # x = 4 theta # então ficamos

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

o que é bastante simplificado.

A maneira usual de ir é conseguir isso em termos de # cos theta #. Nós começamos por deixar # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Se nós definirmos # x = cos theta # teríamos o oitavo polinômio de Chebyshev do primeiro tipo, # T_8 (x) #satisfazendo

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Eu estou supondo que o primeiro caminho foi provavelmente o que eles estão atrás.