Como você resolve arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3?

Responda:

# x = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

Explicação:

#arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3 #

Comece por deixar # alpha = arcsin (x) "" # e # "" beta = arcsin (2x) #

#color (preto) alfa # e #color (preto) beta # realmente apenas representam ângulos.

Então nós temos: # alfa + beta = pi / 3 #

# => sin (alpha) = x #

#cos (alpha) = sqrt (1-sin ^ 2 (alfa)) = sqrt (1-x ^ 2) #

Similarmente, #sin (beta) = 2x #

#cos (beta) = sqrt (1-sin ^ 2 (beta)) = sqrt (1- (2x) ^ 2) = sqrt (1-4x ^ 2) #

#cor branca)#

Em seguida, considere

# alfa + beta = pi / 3 #

# => cos (alfa + beta) = cos (pi / 3) #

# => cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) = 1/2 #

# => sqrt (1-x ^ 2) * sqrt (1-4x ^ 2) - (x) * (2x) = 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) = 2x ^ 2 + 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) ^ 2 = 2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 #

# => 1-5x ^ 2-4x ^ 4 = 4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1/4 #

# => 8x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

Agora aplique a fórmula quadrática na variável # x ^ 2 #

# => x ^ 2 = (- 28 + -sqrt (784 + 384)) / 64 = (- 28 + -sqrt (1168)) / 64 = (- 28 + -sqrt (16 * 73)) / 64 = (-7 + -sqrt (73)) / 16 #

# => x = + - sqrt ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#cor branca)#

Casos falhados:

#color (vermelho) ((1) ".." ##x = + - sqrt ((- 7-sqrt (73)) / 16) #

deve ser rejeitado porque a solução é complexo # inZZ #

#color (vermelho) ((2) ".." ## x = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

é rejeitado porque a solução é negativa. Enquanto que # pi / 3 # é positivo.