Qual é o domínio e alcance de f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Responda:

Domínio: toda a linha real

Alcance: #-0.0757,0.826#

Explicação:

Esta questão pode ser interpretada de duas maneiras. Ou esperamos lidar apenas com a linha real # RR #, ou então também com o resto do plano complexo # CC #. O uso de # x # como uma variável implica que estamos lidando apenas com a linha real, mas há uma diferença interessante entre os dois casos que observarei.

O domínio de # f # é o conjunto do conjunto numérico considerado menos os pontos que fazem com que a função seja expandida até o infinito. Isso acontece quando o denominador # x ^ 2 + 4 = 0 #, ou seja, quando # x ^ 2 = -4 #. Esta equação não tem soluções reais, por isso, se estamos trabalhando na linha real, o domínio é todo o intervalo # (- oo, + oo) #. Se considerarmos os limites infinitos da função comparando os termos principais no numerador e no denominador, vemos que em ambos os infinitos ele tende a zero, e então podemos, se quisermos, adicionar estes a esse intervalo para fechá-lo: # - oo, + oo #.

A equação # x ^ 2 = -4 # tem, no entanto, duas soluções complexas, #x = + - 2i #. Se considerarmos todo o plano complexo, então o domínio é todo o plano menos esses dois pontos: # CC # # {+ - 2i} #. Como com os reais, podemos adicionar no infinito da mesma forma, se desejarmos.

Para determinar o intervalo de # f # Precisamos descobrir seus valores máximo e mínimo em seu domínio. Nós só falaremos em termos de reais agora, já que determinar um análogo a estes sobre o plano complexo é, em geral, um tipo diferente de problema que requer ferramentas matemáticas diferentes.

Pegue a primeira derivada através da regra do quociente:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

A função # f # atinge um extremo ou um ponto de inflexão quando #f '(x) = 0 #, ou seja, quando # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Nós resolvemos isso pela fórmula quadrática:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Então a função tem dois pontos.

Caracterizamos esses pontos examinando seus valores na segunda derivada de # f #, que tomamos, novamente através da regra do quociente:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Sabemos, a partir do nosso primeiro cálculo de raiz derivada, que o segundo termo no numerador é zero para esses dois pontos, já que definir isso como zero é a equação que acabamos de resolver para encontrar os números de entrada.

Então, notando que # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (barra (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Ao determinar o sinal dessa expressão, perguntamos se # 26> 6sqrt (13) #. Quadrado ambos os lados para comparar: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. assim # 26-6sqrt (13) # é positivo (e # 26 + 6sqrt (13) # mais ainda).

Então o sinal de toda a expressão se resume ao #bar (+) # na frente dele, o que significa que # x = -3-sqrt (13) # tem #f '' (x)> 0 # (e, portanto, é um mínimo de função) e # x = -3 + sqrt (13) # tem #f '' (x) <0 # (e é, portanto, um máximo de função). Tendo notado que a função tende a zero nos infinitos, nós agora entendemos a forma da função completamente.

Então, agora para obter o intervalo, devemos calcular os valores da função nos pontos mínimo e máximo # x = -3 + -sqrt (13) #

Lembre-se de que #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, e entao

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Então, sobre a linha real # RR # a função #f (x) # leva valores no intervalo # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, que se avaliarmos numericamente, chega a #-0.0757,0.826#, para três números significativos, obtidos em # x # valores #-6.61# e #0.606# (3 s.f.)

Plote o gráfico da função como uma verificação de sanidade:

gráfico {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4,816, -0,2, 1}

Responda:

Domínio: #x em RR #

Alcance: #f (x) em -0,075693909, + 0,825693909 cor (branco) ("xxx") # (aproximadamente)

Explicação:

Dado

#color (branco) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domínio

o domínio são todos valores de # x # para qual #f (x) # é definido.

Para qualquer função expressa como um polinômio dividido por um polinômio, a função é definida para todos os valores de # x # onde o polinômio divisor não é igual a zero. Desde a # x ^ 2> = 0 # para todos os valores de # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # para todos os valores de # x #; isso é #x! = 0 # para todos os valores de # x #; a função é definida para todo Real (# RR #) valores de # x #.

Alcance

o alcance é um pouco mais interessante de desenvolver.

Notamos que, se uma função contínua tem limites, a derivada da função nos pontos que resultam nesses limites é igual a zero.

Embora algumas dessas etapas possam ser triviais, trabalharemos com esse processo a partir de princípios básicos para derivativos.

1 Regra de expoente para derivativos

E se #f (x) = x ^ n # então # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Regra de soma para derivativos

E se #f (x) = r (x) + s (x) # então # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Regra de Produto para Derivativos

E se #f (x) = g (x) * h (x) # então # (df (x)) / (dx) = (dg (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (dh (x)) / (dx) #

4 Regra de Cadeia para Derivativos

E se #f (x) = p (q (x)) # então # (df (x)) / (dx) = (dp (q (x))) / (dq (x)) * (dq (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Para a função dada #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

notamos que isso pode ser escrito como #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Por 3 sabemos

#color (branco) ("XXX") cor (vermelho) ((df (x)) / (dx)) = cor (lima) ((d (x + 3)) / (dx)) * cor (azul) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + cor (azul) ((x + 3)) * cor (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Por 1 nós temos

#color (branco) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

e por 2

#color (branco) ("XXX") cor (cal) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = cor (cal) (1) #

Por 4 nós temos

#color (branco) ("XXX") cor (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

e por 1 e 2

#color (branco) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

ou simplificado:

#color (branco) ("XXXXXXXX") = cor (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

dando-nos

#color (branco) ("XXX") cor (vermelho) ((df (x)) / (dx)) = cor (verde) 1 * cor (azul) ((x + 4) ^ (- 1)) + cor (azul) ((x + 3)) * cor (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

que pode ser simplificado como

#color (branco) ("XXX") cor (vermelho) ((df (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Como indicado (caminho de volta) isto significa que os valores limite irão ocorrer quando

#color (branco) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (branco) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

então usando a fórmula quadrática (veja isto, Socrático já está reclamando sobre a extensão desta resposta)

quando

#color (branco) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Em vez de prolongar a agonia, vamos simplesmente conectar esses valores em nossa calculadora (ou planilha, que é como eu faço) para obter os limites:

#color (branco) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

e

#color (branco) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Responda:

Uma maneira mais simples de encontrar o intervalo. O domínio é #x em RR #. O alcance é #y em -0,076, 0,826 #

Explicação:

O domínio é #x em RR # Como

#AA x em RR #, o denominador # x ^ 2 + 4> 0 #

Deixei # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Cruz multiplicar

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Esta é uma equação quadrática em # x #

Existem soluções se o discriminante #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Assim sendo, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

As soluções dessa desigualdade são

# y em (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y em (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y em -0,076, 0,826 #

gráfico {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6,774, 3,09, -1,912, 3,016}