O que são produtos cruzados?

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Veja a explicação …

Explicação:

Quando você encontra vetores em #3# dimensões, então você encontra duas maneiras de multiplicar dois vetores juntos:

Produto cruzado

Escrito #vec (u) xx vec (v) #, isso leva dois vetores e produz um vetor perpendicular a ambos, ou o vetor zero se #vec (u) # e #vec (v) # são paralelos.

E se #vec (u) = <u_1, u_2, u_3> # e #vec (v) = <v_1, v_2, v_3> # então:

#vec (u) xx vec (v) = <u_2v_3-u3v_2, cor (branco) (.) u_3v_1-u_1v_3, cor (branco) (.) u_1v_2-u_2v_1> #

Isto é por vezes descrito em termos de um determinante de um # 3 xx 3 # matriz e os três vetores unitários #hat (i) #, #hat (j) #, #hat (k) #:

#vec (u) xx vec (v) = abs ((chapéu (i), chapéu (j), chapéu (k)), (u_1, u_2, u_3), (v_1, v_2, v_3)) #

Como sobre a divisão?

Nenhum produto de ponto nem produto cruzado permite a divisão de vetores. Para descobrir como dividir vetores, você pode ver os quaterniões. Os quaternions formam um #4# espaço vetorial dimensional sobre os números reais e tem aritmética com multiplicação não comutativa que pode ser expressa como uma combinação de produto escalar e produto cruzado. Na verdade, esse é o caminho errado, já que a aritmética de quaternion é anterior à apresentação moderna de vetores, pontos e produtos cruzados.

De qualquer forma, podemos dizer que um quatérnio pode ser escrito como uma combinação de uma parte escalar e parte vetorial, com aritmética definida por:

# (r_1, vec (v_1)) + (r_2, vec (v2)) = (r_1 + r_2, vec (v_1) + vec (v2)) #

# (r_1, vec (v_1)) * (r_2, vec (v_2)) = (r_1 r_2 - vec (v_1) vec (v_2), r_1 vec (v_2) r_2 vec (v_1) vec v_1 vec (v_2)) #

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