Qual é o domínio e alcance de f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Responda:

O domínio é # RR # (todos os números reais) e o intervalo é # 5-sqrt (61) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(todos os números reais entre e incluindo # (5-sqrt (61)) / 72 # e # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Explicação:

No domínio, começamos com todos os números reais e, em seguida, removemos qualquer um que nos force a ter a raiz quadrada de um número negativo ou um #0# no denominador de uma fração.

De relance, sabemos que como # x ^ 2> = 0 # para todos os números reais, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Assim, o denominador não será #0# para qualquer número real # x #, o que significa que o domínio inclui todos os números reais.

Para o intervalo, a maneira mais fácil de encontrar os valores acima envolve algum cálculo básico. Embora seja mais longo, também é possível encontrá-los usando apenas álgebra, no entanto, com o método detalhado abaixo.

Começando com a função #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # desejamos encontrar todos os valores possíveis de #f (x) #. Isso é equivalente a encontrar o domínio da função inversa # f ^ -1 (x) # (uma função com a propriedade # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Infelizmente, o inverso de #f (x) # neste caso não é uma função, pois retorna 2 valores, no entanto, a ideia ainda é a mesma. Vamos começar com a equação #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # e resolver para # x # para encontrar o inverso. Em seguida, vamos olhar para os valores possíveis de # y # para encontrar o domínio do inverso e, portanto, o intervalo da função original.

Resolvendo para # x #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Tratar # y # como constante, aplicamos a fórmula quadrática

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

obter

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Agora precisamos encontrar o domínio da expressão acima (note que não é uma função por causa da #+-#). Note que dividindo por # y # na fórmula quadrática, perdemos a possibilidade de # y = 0 #, o que é claramente possível na equação original (por #x = -5 #). Assim, vamos desconsiderar o # y # no denominador do inverso, e focar apenas na raiz quadrada.

Como mencionado anteriormente, não estamos permitindo a raiz quadrada de um valor menor que 0 e, portanto, temos a restrição

# 1 - 4a (36a-5a)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Usando a fórmula quadrática em # -144a ^ 2 + 20a + 1 = 0 # encontramos, depois de alguma simplificação, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Finalmente, podemos dizer que # | y | # cresce grande, # -144a ^ 2 + 20a + 1 # será menor que #0#. Assim, consideramos apenas o intervalo entre

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # e #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Então, os valores permitidos para # y #e, portanto, o intervalo para #f (x) #, é

# 5-sqrt (61) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #