Quais são as assíntotas e os orifícios, se houver, de f (x) = (2-e ^ (x)) / (3x-2xe ^ (x / 2))?

Responda:

Assíntotas Verticais: x = 0, #ln (9/4) #

Assíntotas Horizontais: y = 0

Assíntotas Oblíquas: Nenhuma

Buracos: Nenhum

Explicação:

o # e ^ x # partes podem ser confusas, mas não se preocupe, apenas aplique as mesmas regras.

Vou começar com a parte fácil: As assíntotas verticais

Para resolver para aqueles que você definir o denominador igual a zero como um número sobre zero é indefinido. Assim:

# 3x-2xe ^ (x / 2) = 0 #

Então nós fatoramos um x

#x (3-2e ^ (x / 2)) = 0 #

Então, uma das assíntotas verticais é x = 0. Então, se resolvermos a próxima equação.

# (3-2e ^ (x / 2)) = 0 # Então use álgebra, isole o expoente: # -2e ^ (x / 2) = - 3 #

Então divida por -2: # e ^ (x / 2) = 3/2 #

Finalmente, tomamos o registro natural de ambos os lados como um meio de anular o expoente: #ln (e ^ (x / 2)) = ln (3/2) #

Então, à esquerda, ficamos com # x / 2 = ln (3/2) #

Então este zero final é #x = 2 ln (3/2) # e por causa da propriedade de log expoente que afirma #ln (x ^ n) = n * ln (x) #, é equivalente a #x = ln (9/4) #

Então agora que estabelecemos isso, o resto é fácil. Como o numerador não se divide no denominador, não pode haver uma assíntota oblíqua. Além disso, o denominador tem um grau maior que o numerador. E quando você tenta fatorar o denominador, como mostrado acima, nenhum dos fatores corresponde ao numerador

Finalmente, para fechar, temos uma assíntota horizontal de y = 0 porque o # e ^ x # função nunca é igual a zero.

Pontos chave:

1. # e ^ x ne 0 #