Um triângulo tem cantos em (4, 1), (2, 4) e (0, 2) #. Quais são os pontos finais das bissectrizes perpendiculares do triângulo?

Responda:

Os endpoints fáceis são os pontos médios, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# e os mais difíceis são onde as bissectrizes se encontram com os outros lados, incluindo #(8/3,4/3).#

Explicação:

Pelas mediatrizes perpendiculares de um triângulo, supostamente queremos dizer a mediatriz perpendicular de cada lado de um triângulo. Portanto, existem três bissectores perpendiculares para cada triângulo.

Cada bissetriz perpendicular é definida para cruzar um lado em seu ponto médio. Ele também irá cruzar um dos outros lados. Vamos supor que esses dois encontros sejam os pontos finais.

Os pontos médios são

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Este é provavelmente um bom lugar para aprender sobre representações paramétricas para linhas e segmentos de linha. # t # é um parâmetro que pode variar sobre os reais (para uma linha) ou de #0# para #1# para um segmento de linha.

Vamos rotular os pontos #A (4,1) #, #B (2,4) # e #C (0,2) #. Os três lados são:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Como # t # vai de zero a um, traçamos cada lado.

Vamos trabalhar um fora. # D # é o ponto médio de # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

O vetor de direção de C para B é # B-C = (2,2) #. Para a perpendicular, nós invertemos os dois coeficientes (nenhum efeito aqui porque ambos são #2#) e negar um. Então a equação paramétrica para a perpendicular

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Linha diferente, parâmetro diferente.) Podemos ver onde isso se encontra com cada um dos lados.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # verifica que a bissetriz perpendicular se encontra com o BC no seu ponto médio.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Subtraindo, # t = 2-3 = - 1 #

Isso está fora da faixa, então a mediatriz perpendicular de BC não atinge o lado AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Subtraindo, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Isso dá o outro ponto final como

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Isso está ficando longo, então vou deixar os outros dois endpoints para você.