Qual é o inverso de f (x) = -ln (arctan (x))?

Responda:

# f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Explicação:

Uma maneira típica de encontrar uma função inversa é definir #y = f (x) # e depois resolver # x # obter #x = f ^ -1 (y) #

Aplicando isso aqui, começamos com

#y = -ln (arctan (x)) #

# => -y = ln (arctan (x)) #

# => e ^ -y = e ^ (ln (arctan (x))) = arctan (x) # (pela definição de # ln #)

# => tan (e ^ -y) = tan (arctan (x)) = x # (pela definição de # arctan #)

Assim nós temos # f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Se quisermos confirmar isso através da definição # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = x #

lembre-se disso #y = f (x) # então nós já temos

# f ^ -1 (y) = f ^ -1 (f (x)) = x #

Para o sentido inverso

#f (f ^ -1 (x)) = -ln (arctan (tan (e ^ -x)) #

# => f (f ^ -1 (x)) = -ln (e ^ -x) #

# => f (f ^ -1 (x)) = - (- x * ln (e)) = - (- x * 1) #

# => f (f ^ -1 (x)) = x #