Como você prova o arco x + arccos x = pi / 2?

Responda:

como mostrado

Explicação:

Deixei

# arcsinx = theta #

então

# x = sineta = cos (pi / 2-teta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Responda:

A afirmação é verdadeira quando as funções trigonométricas inversas se referem aos valores principais, mas isso requer uma atenção mais cuidadosa para mostrar do que a outra resposta fornece.

Quando as funções trigonométricas inversas são consideradas de valor múltiplo, obtemos um resultado mais nuançado, por exemplo

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quádruplo mas #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Nós temos que subtrair para obter # pi / 2 #.

Explicação:

Este é mais complicado do que parece. A outra resposta não lhe dá o devido respeito.

Uma convenção geral é usar a letra pequena #arccos (x) # e #arcsin (x) # como expressões multivaloradas, cada uma indicando, respectivamente, todos os valores cujo cosseno ou seno tem um determinado valor # x #.

O significado da soma desses é realmente toda combinação possível, e eles nem sempre dariam # pi / 2. # Eles nem sempre dão um dos ângulos coterminais # pi / 2 + 2pi k quad # inteiro #k #, como vamos mostrar agora.

Vamos ver como ele funciona primeiro com as funções trigonométricas inversas multivaloradas. Lembre-se em geral # cos x = cos a # tem soluções # x = pm a + 2pi k quad # inteiro #k #.

# c = arccos x # realmente significa

#x = cos c #

#s = arcsin x # realmente significa

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # está desempenhando o papel de um parâmetro real que varre de #-1# para #1#. Queremos resolver para # y #, encontre todos os valores possíveis de # y # que tem um #x, s # e # c # que faz essas equações simultâneas #x = cos c, x = sen s, y = s + c # verdade.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Usamos nossa solução geral acima sobre a igualdade de cossenos.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # inteiro #k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Então temos o resultado muito mais nebuloso, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(É permitido colocar o sinal em # k. #)

Vamos nos concentrar agora nos valores principais, que escrevo com letras maiúsculas:

exposição #text {Arco} texto {sin} (x) + texto {Arc} texto {cos} (x) = pi / 2 #

A declaração é de fato verdadeira para os valores principais definidos da maneira usual.

A soma é apenas definida (até nos aprofundarmos em números complexos) # -1 le x le 1 # porque os senos e cossenos válidos estão nesse intervalo.

Nós vamos olhar para cada lado do equivalente

# text {Arc} texto {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x) #

Nós vamos pegar o cosseno de ambos os lados.

#cos (texto {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x)) = sin (texto {Arco} texto {sin} (x)) = x #

Então, sem se preocupar com sinais ou valores principais, temos certeza

#cos (texto {Arco} texto {cos} (x)) = cos (pi / 2 - texto {Arco} texto {sin} (x)) #

A parte complicada, a parte que merece respeito, é o próximo passo:

#text {Arco} texto {cos} (x) = pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x) quad # Não é certo ainda

Temos que pisar com cuidado. Vamos pegar o positivo e negativo # x # separadamente.

Primeiro # 0 le x le 1 #. Isso significa que os valores principais de ambas as funções trigonométricas inversas estão no primeiro quadrante, entre #0# e # pi / 2. # Restringidos ao primeiro quadrante, cossenos iguais implicam ângulos iguais, então concluímos para #x ge 0, #

#text {Arco} texto {cos} (x) = pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x) quad #

Agora # -1 le x <0. # O valor principal do sinal inverso é no quarto quadrante, e para #x <0 # geralmente definimos o valor principal no intervalo

# - pi / 2 le text {Arc} texto {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arco} texto {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x) le pi #

O valor principal para o cosseno inverso negativo é o segundo quadrante, # pi / 2 <texto {Arc} texto {cos} (x) le pi #

Portanto, temos dois ângulos no segundo quadrante cujos cossenos são iguais e podemos concluir que os ângulos são iguais. Para #x <0 #, #text {Arco} texto {cos} (x) = pi / 2 - texto {Arc} texto {sin} (x) quad #

Então, de qualquer forma, # text {Arc} texto {sin} (x) + texto {Arc} texto {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #