Um triângulo tem os cantos A, B e C localizados em (3, 5), (2, 9) e (4, 8), respectivamente. Quais são os pontos finais e o comprimento da altitude que passa pelo canto C?

Responda:

Pontos de extremidade #(4,8)# e #(40/17, 129/17) # e comprimento # 7 / sqrt {17} #.

Explicação:

Eu sou aparentemente um especialista em responder a perguntas de dois anos. Vamos continuar.

A altitude através de C é a perpendicular a AB até C.

Existem algumas maneiras de fazer isso. Podemos calcular a inclinação de AB como #-4,# então a inclinação da perpendicular é #1/4# e podemos encontrar o encontro da perpendicular através de C e a linha através de A e B. Vamos tentar outra maneira.

Vamos chamar o pé da perpendicular #F (x, y) #. Sabemos que o produto escalar do vetor de direção CF com o vetor de direção AB é zero se for perpendicular:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Essa é uma equação. A outra equação diz #F (x, y) # está na linha através de A e B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Eles se encontram quando

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

O comprimento CF da altitude é

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Vamos verificar isso calculando a área usando a fórmula do cadarço e depois resolvendo a altitude. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #