Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Responda:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Explicação:

nós buscamos:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Quando avaliamos um limite, observamos o comportamento da função "próximo" do ponto, não necessariamente o comportamento da função "no" ponto em questão, assim como #x rarr 0 #, em nenhum momento precisamos considerar o que acontece em # x = 0 #Assim, obtemos o resultado trivial:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Para maior clareza, um gráfico da função para visualizar o comportamento # x = 0 #

gráfico {sen (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Deve ficar claro que a função # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # é indefinido em # x = 0 #

Responda:

Por favor veja abaixo.

Explicação:

As definições de limite de uma função que uso são equivalentes a:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # se e somente de para cada positivo # epsilon #existe um positivo #delta# tal que para cada # x #, E se # 0 <abs (x-a) <delta # então #abs (f (x) - L) <epsilon #

Por causa do significado de "#abs (f (x) - L) <epsilon #", isso requer que para todos # x # com # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # é definido.

Ou seja, para o necessário #delta#, tudo de # (a-delta, + delta) # exceto possivelmente #uma#, encontra-se no domínio da # f #.

Tudo isso nos leva:

#lim_ (xrarra) f (x) # existe apenas se # f # é definido em algum intervalo aberto contendo #uma#, exceto talvez em #uma#.

(# f # deve ser definido em alguma vizinhança aberta excluída de #uma#)

Assim sendo, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # não existe.

Um exemplo quase trivial

#f (x) = 1 # para # x # um real irracional (indefinido para racionais)

#lim_ (xrarr0) f (x) # não existe.