Prove por indução que f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) é divisível por 5 para n em ZZ ^ +?

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Note que para # m # estranho nós temos

# (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m -2) + b ^ (m-1) #

que demonstra a afirmação.

Agora por indução finita.

Para #n = 1 #

#2+3 = 5# que é divisível.

agora supondo que

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # é divisível temos

# 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = #

# = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # que é divisível por #5#

então é verdade.