Quais são os exemplos de uso de gráficos para ajudar a resolver problemas de palavras?

Aqui está um exemplo simples de um problema de palavra em que o gráfico ajuda.

De um ponto #UMA# em uma estrada no tempo # t = 0 # um carro começou um movimento com uma velocidade # s = U # medido em algumas unidades de comprimento por unidade de tempo (digamos, metros por segundo).

Mais tarde, na hora # t = T # (usando as mesmas unidades de tempo de antes, como segundos), outro carro começou a se mover na mesma direção ao longo da mesma estrada com uma velocidade # s = V # (medido nas mesmas unidades, digamos, metros por segundo).

A que horas o segundo carro pega o primeiro, ambos estão na mesma distância do ponto #UMA#?

Solução

Faz sentido definir uma função que represente uma dependência da distância # y # coberto por cada carro do tempo # t #.

O primeiro carro começou em # t = 0 # e movido com uma velocidade constante # s = U #. Portanto, para este carro a equação linear expressando essa dependência se parece #y (t) = U * t #.

O segundo carro começou mais tarde # T # unidades de tempo. Então, para o primeiro # T # unidades cobertas sem distância, então #y (t) = 0 # para #t <= T #. Então ele começa a se mover com uma velocidade # V #então a equação de movimento será #y (t) = V * (t-T) # para #t> T #. Neste caso, uma função é definida por duas fórmulas diferentes em dois segmentos diferentes do argumento # t # (Tempo).

Algebricamente, a solução para este problema pode ser encontrada resolvendo uma equação

# U * t = V * (t-T) #

que resulta em

# t = (V * T) / (V-U) #

Obviamente, # V # deve ser maior que #VOCÊ# (caso contrário, o segundo carro nunca alcançaria o primeiro).

Vamos usar números concretos:

# U = 1 #

# V = 3 #

# T = 2 #

Então a solução é:

# t = (3 * 2) / (3-1) = 3 #

Se não somos tão bem versados em álgebra e equações para construir a equação acima, podemos usar gráficos dessas duas funções para visualizar o problema.

O gráfico de uma função #y (t) = 1 * t # se parece com isso:

gráfico {x -1, 10, -1, 10}

O gráfico de uma função #y (t) = 0 # E se #t <= 2 # e #y (t) = 3 * (t-2) # E se #t> 2 # se parece com isso:

graph1.5x +

Se desenharmos ambos os gráficos no mesmo plano de coordenadas, o ponto em que eles se cruzam # t = 3 # quando ambas as funções são iguais a #3#) seria a hora em que ambos os carros estão no mesmo local. Isso corresponde à nossa solução algébrica # t = 3 #.

Neste e em muitos outros casos, o gráfico pode não fornecer uma solução exata, mas ajuda muito a entender a realidade por trás de um problema.

Além disso, a representação gráfica de um problema ajudaria a encontrar uma abordagem analítica precisa para a solução exata. No exemplo acima, esse processo de interseção de dois gráficos fornece uma forte indicação de uma equação usada para resolver algebricamente o problema.