Qual é a fórmula geral para o discriminante de um polinômio de grau n?

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Explicação:

O discriminante de um polinômio #f (x) # de grau # n # pode ser descrita em termos do determinante da matriz Sylvester de #f (x) # e #f '(x) # do seguinte modo:

Dado:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Nós temos:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

A matriz Sylvester de #f (x) # e #f '(x) # é um # (2n-1) xx (2n-1) # matriz formada usando seus coeficientes, similar ao seguinte exemplo para # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Então o discriminante #Delta# é dado em termos do determinante da matriz Sylvester pela fórmula:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Para # n = 2 # temos:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(que você pode achar mais reconhecível no formulário #Delta = b ^ 2-4ac #)

Para # n = 3 # temos:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (branco) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Os discriminantes para os quadráticos (# n = 2 #) e cúbicos (# n = 3 #) são os mais úteis, pois dizem exatamente quantos zeros complexos reais, repetidos ou não reais, um polinômio possui.

A interpretação do discriminante para polinômios de ordem superior é mais limitada, mas sempre tem a propriedade de que o polinômio tem zeros repetidos se e somente se o discriminante for zero.

#cor branca)()#

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