Prove que: (é verdadeiro para qualquer x, y positivo): x ^ x * y ^ y> = ((x + y) / 2) ^ (x + y)

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Considerar #f (x) = x ln x #

Esta função tem um hipograma convexo porque

#f '' (x) = 1 / x> 0 #

então neste caso

#f ((x + y) / 2) le 1/2 (f (x) + f (y)) # ou

# ((x + y) / 2) ln ((x + y) / 2) e 1/2 (x ln x + y ln y) # ou

# ((x + y) / 2) ^ ((x + y) / 2) le (x ^ x y ^ y) ^ (1/2) #

e finalmente enquadrando ambos os lados

# ((x + y) / 2) ^ (x + y) le x ^ x y ^ y #

Prove que, para qualquer inteiro, A é válido: Se A ^ 2 é um múltiplo de 2, então A também é um múltiplo de 2?

Use a contraposição: Se e somente se A-> B for verdadeiro, notB-> notA também é verdadeiro. Você pode provar o problema usando contraposição. Esta proposição é equivalente a: Se A não é um múltiplo de 2, então A ^ 2 não é um múltiplo de 2. (1) Prove a proposição (1) e está feito. Seja A = 2k + 1 (k: inteiro). Agora A é um número ímpar. Então, A ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4k ^ 2 + 4k + 1 = 2 (2k ^ 2 + 2k) +1 também é ímpar. Proposição (1) é comprovada e assim como o problema o

Prove que o número sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) não é racional para qualquer número natural n maior que 1?

Veja a explicação ...Suponha que: sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) é racional Então seu quadrado deve ser racional, ie: 1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) e, portanto, é : sqrt (2 + sqrt (3 + ... + sqrt (n))) Podemos repetir repetidamente o quadrado e subtrair para descobrir que o seguinte deve ser racional: {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), ( sqrt (n)):} Daqui n = k ^ 2 para algum inteiro positivo k> 1 e: sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) Note que: k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 Portanto, k ^ 2 + k-1 também não é o quadrado de um inteiro e sqrt (k ^ 2 + k-

Com que expoente o poder de qualquer número se torna 0? Como sabemos que (qualquer número) ^ 0 = 1, então qual será o valor de x em (qualquer número) ^ x = 0?

Veja abaixo: Seja z um número complexo com estrutura z = rho e ^ {i phi} com rho> 0, rho em RR e phi = arg (z) podemos fazer esta pergunta. Para quais valores de n em RR ocorre z ^ n = 0? Desenvolvendo um pouco mais z ^ n = rho ^ ne ^ {em phi} = 0-> e ^ {em phi} = 0 porque por rho hipotético> 0. Então, usando a identidade de Moivre e ^ {in phi} = cos (n phi ) + i sen (n phi) ent ao z ^ n = 0-> cos (n phi) + i sin (n phi) = 0-> n phi = pi + 2k pi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots Finalmente, para n = (pi + 2k pi) / phi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots obtemos z ^ n = 0